Matej Šarc je sprva študiral oboo pri Božu Rogelji na Akademiji za glasbo v Ljubljani, nato pa se izpopolnjeval pri Heinzu Holligerju na Visoki šoli za glasbo v Freiburgu v Nemčiji.
Bil je prvi oboist Simfoničnega orkestra RTV Slovenija in freiburškega filharmoničnega orkestra. Kot solist in komorni glasbenik koncertira v Evropi, Avstraliji, na Kitajskem, v Mongoliji, na Japonskem in v obeh Amerikah. Za vrsto evropskih radijskih postaj je posnel številna solistična, komorna in koncertantna dela za oboo. Njegovi posnetki so izšli pri slovenskih in svetovnih založbah.
Od leta 1994 je član orkestra Slovenske filharmonije in pihalnega kvinteta Slowind, s katerim je priredil in izvedel dvajset mednarodnih festivalov Slowind. Za odlične izvedbe z ansamblom je prejel vrsto nagrad, med drugim tudi nagrado Prešernovega sklada. Oboo in komorno glasbo poučuje na akademiji za glasbo v Ljubljani, konservatoriju za glasbo in balet v Ljubljani ter na mojstrskih tečajih doma in na tujem.
Nastopal je z izjemnimi glasbenicami in glasbeniki, kot so Alexander Lonquich, Nicolas Altstaedt, Christiane Iven, Riccardo Muti, Carlos Kleiber, Ferdinand Leitner, Radovan Vlatković, Heinz Holliger, Arvid Engegård, Ursula Oppens, Naoko Jošino in mnogi drugi.
V njegovi umetniški dejavnosti zavzema posebno mesto sodobna glasba. Premierno je izvedel ogromno število prav zanj napisanih novitet slovenskih in tujih skladateljev, v zadnjem času pa se kot dirigent, solist in ustanovitelj filharmoničnega festivala baročne glasbe vse bolj posveča izvajanju glasbe iz obdobja baroka.